Diketehui vektor a=( -2, p, 2√2) vektor b = [1, 1, √2] Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60°, tentukan vektor a dan vektor a + b !

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Gunakan rumus dot product** untuk menentukan nilai \( p \) dari vektor \( a \) agar sudut antara vektor \( a \) dan \( b \) sebesar 60°.

2. **Tentukan vektor \( a \)** setelah nilai \( p \) ditemukan.

3. **Hitung vektor \( a + b \)** setelah mengetahui vektor \( a \).

### Langkah 1: Gunakan Rumus Dot Product
Rumus dot product antara dua vektor \( a \) dan \( b \) adalah:
\[
a \cdot b = |a| |b| \cos \theta
\]
Dengan \( \theta = 60° \), maka \( \cos 60° = \frac{1}{2} \).

Vektor \( a = (-2, p, 2\sqrt{2}) \) dan \( b = (1, 1, \sqrt{2}) \).

Dot product \( a \cdot b \) adalah:
\[
a \cdot b = (-2)(1) + p(1) + 2\sqrt{2}(\sqrt{2}) = -2 + p + 4 = p + 2
\]
Panjang vektor \( a \):
\[
|a| = \sqrt{(-2)^2 + p^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + p^2 + 8} = \sqrt{p^2 + 12}
\]
Panjang vektor \( b \):
\[
|b| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]
Substitusi ke rumus dot product:
\[
p + 2 = \frac{1}{2} \times \sqrt{p^2 + 12} \times 2
\]
\[
p + 2 = \sqrt{p^2 + 12}
\]
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kuadratkan kedua sisi:
\[
(p + 2)^2 = p^2 + 12
\]
\[
p^2 + 4p + 4 = p^2 + 12
\]
\[
4p + 4 = 12
\]
\[
4p = 8 \quad \Rightarrow \quad p = 2
\]

### Langkah 2: Tentukan Vektor \( a \)
Dengan \( p = 2 \), vektor \( a \) adalah:
\[
a = (-2, 2, 2\sqrt{2})
\]

### Langkah 3: Hitung Vektor \( a + b \)
Vektor \( b = (1, 1, \sqrt{2}) \), sehingga:
\[
a + b = (-2 + 1, 2 + 1, 2\sqrt{2} + \sqrt{2})
\]
\[
a + b = (-1, 3, \sqrt{2}(2 + 1)) = (-1, 3, 3\sqrt{2})
\]

### Kesimpulan:
- Vektor \( a \) adalah \( (-2, 2, 2\sqrt{2}) \).
- Vektor \( a + b \) adalah \( (-1, 3, 3\sqrt{2}) \).

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan besar sudut antara dua vektor jika sudutnya tidak diketahui?
2. Apa hubungan antara dot product dan panjang vektor?
3. Mengapa penting untuk menguasai konsep dot product dalam aljabar vektor?
4. Bagaimana cara menggunakan vektor untuk menyelesaikan masalah fisika?
5. Apa aplikasi nyata dari penjumlahan vektor dalam kehidupan sehari-hari?

**Tip:** Saat mengerjakan soal vektor, selalu pastikan untuk memeriksa perhitungan panjang vektor dan dot product dengan teliti untuk menghindari kesalahan hitung.

Learn how to calculate vector a and vector a + b when given that they form a 60° angle. This problem involves using the dot product formula and vector addition formula to find vector components. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation